Pluto hat geschrieben:ThomasM hat geschrieben:Axiome sind Behauptungen, die keines Beweises bedürfen. Also auch nicht falsifizierbar (und beweisbar) sind. Auf Axiomen werden Beweise aufgebaut, sie sind die (gesetzte) Basis.
Beispiele?
In der Naturwiessenschaft ist die Existenz der Welt ein solches Axiom. Wir können dieses über Vorhersagen überprüfen . Mehr noch, es lassen sich aus diesem Axiom ganze Modelle entwickeln, die in sich schlüssig durch Beobachtungen in der Natur bestätigt werden. Dogmen kann man auf diese Weise nicht bestätigen.
Erst einmal wirst du in
http://de.wikipedia.org/wiki/Axiom hauptsächlich das mathematische Verständnis des Wortes finden, insbesondere das von Hilbert entwickelte allgemeine System ist mathematisch-logischer Natur
Die Existenz der Welt ist kein Axiom, sondern eine philosophische Grundannahme, die nicht überprüfbar ist. Man kann auch annehmen, dass wir alles nur träumen, da würden wir dann träumen, dass wir annehmen, die Welt existiert, worauf wir davon träumen, dass wir Experimente ausführen, die das zu bestätigen scheinen.
In dem Wikipedia Artikel werden z.B. die Newtonschen Axiome als Beispiel für naturwissenschaftliche Axiome genannt, tatsächlich kann man auch diese auf ein einziges Prinzip zurückführen (das Prinzip der kleinsten Wirkung). Daraus lässt sich die gesamte klassische Mechanik entwickeln. Analoges gilt z.B. auch für die Prinzipien, aus denen man die ART entwickeln kann. Heutzutage spricht man in der Naturwissenschaft lieber von "Prinzipien", um eine Verwechslung mit dem mathematischen Begriff Axiom zu vermeiden.
Auch hier ist die Überprüfbarkeit relativ indirekt. Aus den Prinzipien werden die Modelle entwickelt. Die Modelle werden zur Beschreibung und Vorhersagen benutzt. Diese wiederum lassen sich prüfen.
Pluto hat geschrieben:
1+1=2 ist kein Naturgesetz.
[...]
Wäre es ein Naturgesetz, wäre es falsifizierbar, aber nicht beweisbar. Dann könnte man es messen.
Kann man auch...
Nimm mal an du hast eine Kiste voller genau gleichgroßer, 200 Gramm schwerer Äpfel. Wenn du sie auf die Waage legst, wiegen 5 Äpfel genau 1000 Gramm.
Zahlen (0, 1, 2, 3...) sind lediglich von Menschen erdachte Symbole, um die darunterliegenden "Gesetze" zu beschreiben.
Trotzdem ist 1+1=2 kein Naturgesetz, sondern eine logisch-mathematische Struktur.
Du solltest wissen, dass es auch möglich ist, eine Struktur zu entwickeln, in der 1+1=0 ist.
Der Punkt ist folgender:
Mathematik ist erst einmal ganz allgemein die Lehre der logischen Strukturen. Das kann man ganz unabhängig von irgendeiner Natur betreiben. In diesem Sinn ist Mathematik eine Geisteswissenschaft.
Nun wollen wir Naturwissenschaft betreiben. Dazu beobachten wir Objekte (z.B. Äpfel) und Prozesse (z.B. wiegen). Um zu einem Modell zu kommen, suchen wir uns eine
passende mathematische Struktur aus, die uns geeignet erscheint. In dieser Struktur beschreiben wir die Objekte und die Prozesse (das Modell).
Oft können wir feststellen, dass die logischen Rückschlüsse des Modells dann in der Natur zu finden sind, die Natur verhält sich also logisch. Aber sie ist nicht identisch zur Logik, denn wenn wir genau schauen, kommt es zu Abweichungen, so dass wir eine andere mathematische Struktur suchen müssen.
Ein schönes Beispiel zu diesem Komplex ist die ART. Die nicht-euklidische Geometrie der gekrümmten Räume war in der Mathematik bereits entwickelt worden, bevor Einstein sich mit der ART beschäftigte. Es war eine reine mathematische Spielerei, die zu nichts nutze war, außer, dass sie ein paar komische Typen (Mathematiker sind immer komische Typen) interessiert hat.
Dann kam Einstein und suchte nach einer mathematischen Struktur, um seine Ideen zur Gravitation beschreiben zu können. Und wurde in diesen Spinnereien fündig.
Naturwissenschaft und Mathematik haben sich seit jeher gegenseitig befruchtet. Aber nur die Naturwissenschaft kann messtechnisch überprüft werden.
Gruß
Thomas
Gott würfelt nicht, meinte Einstein. Aber er irrte. Gott nutzt den Zufall - jeden Tag.
