Ein Tunnel durch die Erde.

[Pluto]

Also so unterschiedlich sind unsere Grundgedanken nicht, auch wenn sich Zeus alle Mühe gibt, dies so aussehen zu lassen.

Wenn dein Grundgedanke war, dass sich im Erdmittelpunkt die Kräfte kompensieren, und dabei Null rauskommt, dann war er richtig. Deine Herleitung ist aber rechnerisch falsch, weil die Schwerkraft (in einer idealisierten Erdkugel) nicht linear von der Oberfläche bis zum Kern abnimmt, sondern sie folgt einer Cosinus Funktion.

Nach wie vor fehlt mir von eurer Seite beispielsweise die Berechnungsgrundlage, warum die maximale Geschwindigkeit erst im Erdkern erreicht wird.

Hat doch Thomas erklärt. Das ist zwingend so, weil die Schwerkraft bis zum Mittelpunkt beschleunigend wirkt und die Geschwindigkeit dadurch ansteigt. Erst nach Erreichen des Mittelpunkts ist der grössere Teil der Masse hinter dem Objekt, und es entsteht eine Bremswirkung.

Und es leuchtet mir ebenso noch nicht ein, warum die hinter mir liegende Masse nach dem Schalenmodell von halman 0-

Natürlich wirkt die Schwerkraft immer, aber im Mittelpunkt gleichen sich die Kräfte aus, sodass der Nettoeffekt eine Null ist.

[Janina]

Deine Herleitung ist aber rechnerisch falsch, weil die Schwerkraft (in einer idealisierten Erdkugel) nicht linear von der Oberfläche bis zum Kern abnimmt, sondern sie folgt einer Cosinus Funktion.

Keine Ahnung wie du auf den Cosinus kommst. Also mal nachrechnen:
Gravitationsgesetz: F = G * m1 * m2 /r²
Spezialfall Erdoberfläche: r = Erdradius, m2 = Masse(Erde): G * m2 / r² = g = 9,81m/s²
Im Erdinneren kann die oberhalb der Testmasse m1 liegende Kugelschale weggelassen werden, es wirkt nur noch die Erdkugel unterhalb, und die hat die Masse m2 = Dichte * 4Pi * r³ /3
Die Dichte der Erde wird der Einfachheit halber als konstant angenommen, und alle Konstanten weggelassen, dann ist die Kraft / Beschleunigung, die auf die Testmasse m1 wirkt:
F = m2 / r² = r³ / r² = r.
Das heißt, dass sich die Schwerkraft in der Tat linear zum Abstand vom Erdmittelpunkt verhält.
Ah, du meintest sicher das zeitliche Verhalten.
Das Potential ist dann nämlich E = Integral(F dr) = r². Das ist der klassische harmonische Oszillator mit den Lösungen Ort r(t) = cos(t), Geschwindigkeit v(t) = -sin(t), und Beschleunigung a(t) = -cos(t).

[Pluto]

Keine Ahnung wie du auf den Cosinus kommst.

Doch hast du.... Du gibst dir selbst die Antwort:

Das Potential ist dann nämlich E = Integral(F dr) = r². Das ist der klassische harmonische Oszillator mit den Lösungen Ort r(t) = cos(t), Geschwindigkeit v(t) = -sin(t), und Beschleunigung a(t) = -cos(t).

Eben...

[Zeus]

Also so unterschiedlich sind unsere Grundgedanken nicht, auch wenn sich Zeus alle Mühe gibt, dies so aussehen zu lassen.

Wenn dein Grundgedanke war, dass sich im Erdmittelpunkt die Kräfte kompensieren, und dabei Null rauskommt, dann war er richtig. Deine Herleitung ist aber rechnerisch falsch, weil die Schwerkraft (in einer idealisierten Erdkugel) nicht linear von der Oberfläche bis zum Kern abnimmt, sondern sie folgt einer Cosinus Funktion.

Richtig, die Schwerkraft als Funktion der Zeit (t) folgt einer Cosinus-Funktion
ABER in Abhängig von der Strecke (x) erhält man eine Gerade. (Graphik + Link zu einem mathematischen Beweis.)

Rot = x(t) Position des Reisenden (Tunnel und Reise vom Südpol zum Nordpol)
Grün= v(t) Geschwindigkeit
Blau = a(t) Beschleunigung
Schwarz= a(x)
@Janina
Die auf den Körper im Tunnel wirkende Gravitationskraft F hat an der Erdoberfläche den Wert m*g und nimmt auf dem Weg zum Erdmittelpunkt linear bis auf Null ab.
Misst man x vom Erdmittelpunkt aus, so kann man also schreiben
F = m * g * x/r (0<=x<=r) r=Erdradius
Dieser Kraft wirkt entgegen die "Trägheit" der Masse
P = m * a
a = Akzeleration, v = Geschwindigkeit, t = Zeit
Nach Newton ist v = dx/dt und a= dv/dt also a = d²x/dt²
P = m * d²x/dt²
Es ist F = - P und damit erhält man die
Differentialgleichung
m * g/r * x + m * d²x/dt²= 0
vereinfacht
g/r * x + d²x/dt²= 0
deren Lösung eine Cosinusfunktion für x(t) ergibt.


Gruß
Zeus

[Janina]

@Janina
Die auf den Körper im Tunnel wirkende Gravitationskraft F hat an der Erdoberfläche den Wert m*g und nimmt auf dem Weg zum Erdmittelpunkt linear bis auf Null ab...

Ja, das hast du aber schön wiederholt.

[Zeus]

@Janina
Die auf den Körper im Tunnel wirkende Gravitationskraft F hat an der Erdoberfläche den Wert m*g und nimmt auf dem Weg zum Erdmittelpunkt linear bis auf Null ab...

Ja, das hast du aber schön wiederholt.

Ich weiß nicht mehr, wie oft ich das wiederholen musste...

Aber was blieb mir andres übrig, zumal du nach dem Cosinus gefragt hattest, obwohl ich in diesem Thread eine einfache Ableitung der Differentialgleichung ganz am Anfang schon eingestellt hatte.

Eine Frage: Verstehst du diese Begründung für die Schwerelosigkeit im Innern einer Hohlkugel?
Für mich ist das ein Beispiel, wo man ein nicht triviales Problem zu sehr vereinfacht erklären will.

[Janina]

Aber was blieb mir andres übrig?

Deutlicher unterscheiden zwischen F(r) und F(t). Das ist wohl durcheinandergeraten.

Verstehst du diese Begründung für die Schwerelosigkeit im Innern einer Hohlkugel?

Das ist zwar schon richtig, aber in dem Sinne keine Erklärung, sondern eine Erinnerung daran. Die Erklärung wäre eine Rechnung, bei der das dargestellte Ergebnis rauskommt. Eine gute Rechnung ist hier zu finden, die mit weggelassenen Konstanten dieselbe ist, wie für Schwerkraft: http://www.chemiephysikskripte.de/artikel/faraday.htm

[Zeus]

Verstehst du diese Begründung für die Schwerelosigkeit im Innern einer Hohlkugel?

Das ist zwar schon richtig, aber in dem Sinne keine Erklärung, sondern eine Erinnerung daran.

Das erklärt wohl meine Verständnisschwierigkeiten. (Dass das Ergebnis richtig ist, hat vor geraumer Zeit der große Newton selbst schon bewiesen)

Die Erklärung wäre eine Rechnung, bei der das dargestellte Ergebnis rauskommt. Eine gute Rechnung ist hier zu finden, die mit weggelassenen Konstanten dieselbe ist, wie für Schwerkraft: http://www.chemiephysikskripte.de/artikel/faraday.htm

Vielen Dank! Der ist Klasse!
Als Gegengabe schenke ich dir diesen lustigen kompletten rechnerischen Beweis, den ich auch schon n-mal gepostet habe.

[Zeus]

Warum die Schwerkraft im Innern einer Hohlkugel Null ist

Analog zu Janinas Link gilt Folgendes:

Man denkt sich eine dünn-wandige Hohlkugel in winzige quadratische Stücke mit den Seitenlängen a bzw. b zerlegt. Dann gilt:


sin(Alpha) = a/A
sin(Alpha) = b/B

Folglich

1) a/A = b/B

oder

2) a²/A² = b²/B²

Newton: Schwerkraft = G*m1*m2/r²
Ma = Dichte * Wanddicke * a²
Mb = Dichte * Wanddicke * b²
Alle konstanten Größen kann man zusammenfassen zu
K = G * m * Dichte * Wanddicke

Die Kräfte, die von den beiden Masse-Elementen auf die Probemasse m ausgeübt werden, sind dann
Fa = K(a²/A²)
Fb = -K(b²/B²)

Das Minuszeichen bei Fb rührt daher, dass die Kräfte der beiden Oberflächenelemente entgegengesetzt gerichtet sind. Für die Summe der Kräfte, die die beiden Elemente auf m ausüben, gilt:

F = Fa + Fb

F = K(a²/A² - b²/B²)

Mit Gleichung 2) folgt

F = 0

Egal wo sich die Testmasse m in der Hohlkugel befindet, es gilt die gleiche Überlegung.
Also ist die Schwerkraft innerhalb des gesamten Hohlraums Null. Eine dick-wandige Hohlkugel muss man sich wie eine (ausgehöhlte) Zwiebel vorstellen, um zu demselben Ergebnis zu kommen.

Gruß (AN ALLE)
Zeus

[seeadler]

Nebenbei : Als "Hohlkugel" betrachte ich auch mein Modell eines "Schwarzen Lochs", bei dem sich die eigentliche Masse jenes SL, von dem die Kraft nach außen hin wirkt, sich nicht innerhalb des SL sondern im Ereignishorizont befindet. Von daher könnten die Überlegungen zu einer Hohlkugel durchaus hilfreich sein, um den Aufbau von SL zu verstehen, bzw, warum ich auch dort davon ausgehe, dass die Kräfte dort an jedem beliebigen Punkt nach allen Seiten hin gleich sind, so, wie Zeus es hier eindrucksvoll demonstriert. Und dies wiederum sehe ich als eine Grundlage für die Bildung eines neuen und vollkommen anderen Universums. In dem sich dann auch, wie ich schon Halman schrieb, eine vollkommen anders geartete Masse befindet, nicht unmittelbar vergleichbar mit der Außenmasse, sondern eher zu vergleichen zwischen Materie (Außen / Innen) und Antimaterie ( Innen / außen)

Im Prinzip entspricht jene überdimensionierte Hohlkugel von Zeus den inneren Aufbau des Zentrums der Erde, wo sich ebenfalls die Kräfte gegenseitig aufheben, bzw, wie ich auch Halman schrieb, die Kräfte nach allen Seiten hin gleich sind, und deshalb die resultierende Kraft 0 ist.

Aber, wie schon in Falle der Erde erwähnt, glaube ich auch, dass die vorhandenen Kräfte - aber nicht mehr in einer Richtung wirkenden - auf jeden Fall die Gravitationskraft dort eintretender Fremdmassen beeinflusst. Somit sich auch der Wert der "Gravitationskonstante" dadurch erhöht oder reduziert.

Gruß
Seeadler