Vorsicht „Stromberg“, lass dich nicht zu sehr beeindrucken.“Stromberg“ hat geschrieben:Hmm... in dieser Rechnung wäre >diese< Teilmenge tatsächlich unendlich... womit meine vorausgegangene Aussage, dass sie endlich wäre eben nicht in jedem Fall zwingend richtig ist.“Janina“ hat geschrieben:Beweis: Diese Teilmenge enthält die eineindeutige Abbildung der gesamten Menge. Und die ist, wenn das geht, unendlich. Und damit die Teilmenge auch.
Beispiel: Die unendliche Menge N der natürlichen Zahlen kann durch Multiplikation mit 2 auf die unendliche Menge G der geraden Zahlen abgebildet werden. Diese ist trivialerweise eine Teilmenge von N, denn die ungeraden Zahlen sind in N aber nicht in G. Die Rückabbildung ist die Division durch 2, die Abbildung ist eineindeutig.
Mathematik ist die Kunst, die eigene Intuition zu revidieren.
Der Punkt geht an dich.
Es steht ja die Behauptung im Raum, dass für die Beschreibung/Definition von „Unendlich“ keine Endlichkeit eingesetzt werden muss.
Versuchen wir mal Schritt für Schritt vorzugehen.
Als Ausgangspunkt legen wir fest, dass wir Leser sind, die …
1. …zu einem Wort eine Erklärung suchen, ohne dass sie zu diesem Wort irgendwelche Zusammenhänge zur Verfügung haben
2. …das Konzept „unendlich“ noch nicht verstehen.
Wir bringen also explizit nicht die Zusammenhänge „geht immer weiter“, „hört nicht auf“, „wird immer umfangreicher“ usw. mit.
Der „Erklärungssatz“ lautet nun:
“`Xchgweui` ist die Mächtigkeit einer Menge, die auf eine echte Teilmenge ihrer selbst eineindeutig abgebildet werden kann."
(zur Sicherheit, dass nicht gleich beim ersten Wort die nicht mitzubringenden Zusammenhänge aufgebaut werden, habe ich das Wort verfälscht)
Zu „Menge“ wissen wir (Wiki): …ist ein Verbund, eine Zusammenfassung von einzelnen Elementen.
Zu „Mächtigkeit einer Menge“ wissen wir: „Anzahl der Elemente einer Menge“
Zu „echter Teilmenge“ wissen wir: …enthält nur Elemente aus der einschliessenden Menge (Obermenge) aber mindestens ein Element nicht.
Zu „eindeutiger Abbildung von Menge A auf B“ wissen wir: …jedem Element aus Menge A wird genau ein Element aus Menge B zugeordnet. WICHTIG: Zuordnung bedeutet nicht „Gleichheit“ sondern nur „Funktion A -> B“ (was auch immer „Funktion“ ist)!
Jetzt lesen wir den Satz und bauen aus den gelieferten Zusammenhängen eine Szene auf:
Es soll eine Menge (A) und dazu eine echte Teilmenge (B) vorliegen und eine eindeutige Abbildung durchgeführt werden können.
=> jedes Element aus A soll einem Element aus B zugeordnet werden können
=> nicht alle Elemente aus A sollen aber in B vorkommen
=> sieht nach einem Widerspruch aus
Erklärt der „Erklärungssatz“ diesen gefühlten Widerspruch?
=> Nein, aber da ist ja noch „die Funktion“, also „die Abbildung“.
Suchen wir ein Beispiel:
Zahlenmenge A { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Zahlenmenge B { 1, 4, 9, 16, 25, 36 }
Die Abbildungsfunktion ist hier das Quadrieren (z.B. aus 3 -> 9)
Menge B wäre hier keine echte Teilmenge von A – keine Chance.
Die grossen Zahlenwerte aus B müssten hierfür auch in A vorkommen, tun sie aber nicht.
Man müsste somit nachbessern und ein „Paket aus einigen Zahlenwerten“ von Menge B auch wieder in Menge A einsetzen.
Schwubs: damit liegt das Konzept einer endlichen Handlung vor: das Nachbessern
=> Führt man diese Handlung aber durch, dann muss man schon wieder nachbessern.
Indem wir nun durchschauen, dass wir immer wieder die gleiche Handlung durchführen müssen, können wir abrechen und sagen „das hört ja nie auf, es gibt nirgendwo einen Grund dafür“.
(poetisch: „den Stein immer wieder nach oben rollen“)
Jetzt sind wir an dem Punkt, dass wir einen Zusammenhang, den wir oben explizit nicht mitgebracht haben, wieder zur Verfügung haben: „hört nicht auf“.
Notwendig war:
Eine endliche Handlung, die in ihrer Wiederholung nicht endet (sowie ein Ähnlichkeitsvergleich beim Durchführen der Handlung)
=> Für „unendlich“ brauchen wir Endlichkeit, für die wir (in ihrer Wiederholung) kein Endekriterium angeben können – sprich „hört nicht auf“
Damit ist die anfängliche Behauptung „bei obigem Satz wird `unendlich` ohne Endlichkeit erklärt“ als falsch überführt.