Man kann sich das leicht folgendermaßen klarmachen. Unter irdischen Bedingungen existierende Gase sind staubartige Materie, d.h. sie haben einen positiven Druck p > 0, der jedoch viel kleiner ist als die Energiedichte Ï. Die Energiedichte errechnet sich aus Ï = U/V, wobei U die innere Energie des Gases im Zylinder ist und V das Zylindervolumen. Für die innere Energie gilt, wenn wir annehmen, dass das Gas aus N Gasmolekülen der Masse m besteht:Pluto hat geschrieben:Ich gebe dir ein Beispiel.
Nimm einen mit Gas gefüllten Zylinder mit einem beweglichen Kolben. Zieht man am Kolben, wird das Volumen des Zylinders größer, das Gas verteilt sich im größeren Volumen und Dichte und Druck des Gases sinken.
Nicht so bei der dunklen Energie. Diese scheint in Größe und Wirkung (Druck) gleich zu bleiben, obwohl eine Expansion stattfindet. Das Universums ist größer geworden, aber die Kraft der dunklen Energie bleibt gleich.
Wie kann das sein? Was ist geschehen? Warum lässt der Expansionsdruck nicht nach?
Es ist so als wäre mit der Expansion plötzlich neue dunkle Energie entstanden.
Was geht hier vor?
U = N (m c² + 3/2 k T) (1)
wobei k die Boltzmann-Konstante ist und T die Temperatur. Unter irdischen Bedingungen ist k T << m c² (Beispiel: das Gas sei molekularer Wasserstoff, dann ist m c² = 1880 MeV, bei T = 300 K ist zugleich k T = 0.02 eV). Für den Druck des Gases gilt:
p = N k T / V (2)
Jetzt zieht man am Kolben und vergrößert das Volumen um dV. Dadurch verrichtet das Gas die Arbeit dW = p dV, die der inneren Energie des Gases entzogen wird, die innere Energie ändert sich also um dU = -dW = - p dV. Da sich in (1) die Masse der Gasmoleküle nicht ändern kann, kann die Verminderung der inneren Energie nur durch eine Verminderung der Temperatur T gewährleistet werden, aus (1) folgt
dU = 3/2 k dT <=> dT = 2/3 dU/k = - 2/3 p dV / k
Aus (2) folgt zugleich, dass mit kleiner werdender Temperatur auch der Druck p kleiner wird, es gilt
dp = N k dT / V = - 2/3 N p dV <=> dp/p = - 2/3 N dV
Dies führt auf eine Differentialgleichung für p(V) - d.h. den Druck als Funktion des Volumens - mit der Lösung
p(V) = p0 exp(- 2/3 N (V - V0)) (3)
wobei p0 der Anfangsdruck und V0 das Anfangsvolumen ist. Entsprechend gilt für die innere Energie als Funktion des Volumens, wenn man ausnutzt, dass nach (2) die Beziehung k T = p V / N gilt und man dies in (1) einsetzen kann:
U(V) = N (m c² + 3/2 p(V) V / N) = N m c² + 3/2 V p0 exp(- 2/3 N (V - V0)) (4)
Die Energiedichte ist entsprechend
Ï(V) = N/V m c² + 3/2 p0 exp(- 2/3 N (V - V0)) (5)
Wie man sieht, nimmt die innere Energie durch die kleiner werdende Temperatur ab, jedoch ist der abnehmende zweite Term gegenüber dem unverändert bleibenden ersten Term N m c² so klein, dass die Energie in guter Näherung gleich gleibt und die Energiedichte daher nur mit 1/V abnimmt, wie bei einer unveränderten Energie, die sich über ein größeres Volumen verteilt, zu erwarten. Da aber trotzdem die Temperatur abnimmt, nimmt wird der Druck mit zunehmendem Volumen kleiner.
Soweit zu einem staubartigen Gas, nun zur Dunklen Energie. Deren Druck ist negativ, p < 0, und vom Betrag her von der gleichen Größenordnung wie die Energiedichte. In dem Spezialfall, dass die Dunkle Energie eines Kosmologische Konstante ist, gilt p = - Ï. Jetzt stellen wir uns analog zum staubartigen Gas vor, dass die Dunkle Energie in einen Zylinder mit Kolben eingesperrt sei. Die innere Energie ist dann U = Ï V. Nehmen wir wieder an, wir vergrößeren das Volumen um dV, indem wir den Kolben ein Stück herausziehen. Die Dunkle Energie verrichtet dann die Arbeit dW = - p dV, jedoch ist in diesem Fall der Druck p negativ, so dass die innere Energie nicht ab-, sondern zunimmt:
dU = - dW = - p dV = |p| dV = Ï dV > 0 (6)
Mit U = Ï V ist die Beziehung dU = Ï dV aber zugleich diejenige Beziehung, die man erwartet, wenn die Energiedichte unabhängig vom Volumen konstant bleibt, und die Energie somit linear mit dem Volumen größer wird. Bei einer Kosmologischen Konstanten bleibt somit die Energiedichte immer gleich, dafür nimmt die Energie insgesamt zu, wenn das Volumen größer wird.
Es gibt auch den umgekehrten Fall, dass die Energiedichte schneller als mit 1/V abnimmt, nämlich bei einem Strahlungsfeld. Stellen wir uns wieder einen Zylinder mit einem Kolben vor und nehmen an, der Zylinder sei mit elektromagnetischer Strahlung, also mit Photonen, gefüllt. Hier ist der Druck wie bei einem staubarigen Gas positiv, p > 0, aber von der gleichen Größenordnung wie die Energiedichte, bei gleicher Energiedichte also viel höher. Es gilt p = Ï/3. Zieht man den Kolben aus dem Zylinder, so ist die von der Strahlung verrichtete Arbeit dW = p dV = Ï dV / 3, so dass
dU = - Ï dV / 3
Über die Beziehung d(Ï V) = V dÏ + Ï dV folgt daraus
V dÏ + Ï dV = - Ï dV / 3
<=> V dÏ = - 4/3 Ï dV
<=> dÏ/Ï = -4/3 dV/V
was auf die Lösung
Ï(V) = Ï0 (V/V0)^(-4/3) (7)
führt. Würde im Exponenten -1 stehen, so wäre Ï ~ 1/V, mit -4/3 im Exponenten hingegen nimmt die Energiedichte mit steigendem Volumen schneller ab. Was einfach daran liegt, dass die verrichtete Arbeit bei der Vergrößerung des Volumens so groß ist, dass die innere Energie U = Ï V dabei merklich abnimmt, sich also nicht bloß eine gleichbleibende Energiemenge über ein größeres Volumen verteilt, sondern die Energiemenge selbst kleiner wird.
In allen drei Fällen kann man allerdings damit argumentieren, dass über die am Kolben verrichtete Arbeit das System Energie an die Umgebung abgegeben hat (staubartiges Gas und elektromagnetisches Strahlungsfeld) bzw. Energie aus der Umgebung bezogen hat (Kosmologische Konstante), uns somit insgesamt weder Energie erzeugt noch vernichtet wurde. Bei der Expansion des Universums dagegen ist das anders, und zwar in allen drei Fällen: da gibt es keinen Kolben, an dem Arbeit verrichtet wird, vielmehr wird bei staubartiger Materie ebenso wie bei elektromagnetischer Strahlung Energie vernichtet (bei staubartiger Materie aber nur in sehr geringem Maße, wegen p << Ï), und bei der Kosmologischen Konstanten Energie erzeugt.