Können wir die Unendlichkeit erfassen?

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Claymore
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#91 Re: Können wir die Unendlichkeit erfassen?

Beitrag von Claymore » Mo 18. Feb 2019, 22:19

Janina hat geschrieben:
Mo 18. Feb 2019, 16:20
Claymore hat geschrieben:
Mo 18. Feb 2019, 15:56
Was ist denn nun die exakte Definition, die du vorschlägst?
https://4religion.de/viewtopic.php?p=360942#p360942
Geometrische Ähnlichkeit taucht da aber nicht auf.

Meiner Ansicht nach gibt es keine exakte Definition von “unendlich” über geometrische Ähnlichkeit.
Claymore hat geschrieben:
Mo 18. Feb 2019, 15:56
Ich sehe auch nicht, wie z.B. die unendliche Menge M = [0, 1] ∪ [2, 3] zu einer ihrer echten Teilmengen geometrisch ähnlich sein kann.
Genauso wie [0, 1] ähnlich ist zu [0, 0,5].
Ich schlage folgende Teilmenge vor: M' = [0, 0,5] ∪ [2, 2,5]. Die Abbildung dazu kannst du dir selber ausdenken.
Also, es gibt natürlich eine bijektive Abbildung von M = [0, 1] ∪ [2, 3] nach M' = [0, 0.5] ∪ [2, 2.5], aber es gibt keine Ähnlichkeitsabbildung, d.h. von der Form f(x) = mx + b.

Nur fällt mir ein, dass wenn man M' = [0, 0.25] ∪ [0.5, 0.75] ⊂ M wählen würde, gäbe es eine, nämlich f(x) = x/4.

Ich denke aber mit der unendlichen Punktmenge M = {p ∈ ℕ : p prim} ist klar, dass es keine Funktion f(x) = mx + b geben kann, die M auf eine echte Teilmenge M' ⊂ M abbildet.

m und b müssen ganze Zahlen sein (durch Überlegungen, dass f(3) - f(2) ∈ ℤ sein müssen). Außerdem gilt offensichtlich m > 0 und b kann nicht Null sein, denn mp ist nur für m = 1 prim (und das wäre die Identitätsabbildung). Jedoch ist mp + b für m > 0 nie prim, wenn p gleich einem Primfaktor von b ist.
Claymore hat geschrieben:
Mo 18. Feb 2019, 15:49
Wie geht es, wenn man nur die Punktmenge der Seiten eines Dreiecks betrachtet, anstatt auch sein inneres?
https://4religion.de/viewtopic.php?p=361016#p361016
Du machst hier aus einer zweidimensionalen Punktmenge eine eindimensionale. Das hat nichts mehr mit Ähnlichkeitsabbildungen zu tun.

Falls es nun doch nur noch um Bijektionen geht, ist das okay – nur war dann der Geometrie-Exkurs hier unsinnig und verwirrend.

Wie denkst du denn, dass Dedekind “ähnlich” verstanden hat? Akzeptierst du die Quelle, die ich zitiert habe?

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Janina
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#92 Re: Können wir die Unendlichkeit erfassen?

Beitrag von Janina » Mo 18. Feb 2019, 22:52

closs hat geschrieben:
Mo 18. Feb 2019, 18:41
Janina hat geschrieben:
Mo 18. Feb 2019, 15:36
Und das bedeutet ja auch, dass die Menge seiner Elemente unendlich ist.
Redest Du möglicherweise von Unendlichkeit in einem begrenzten Raum?
Es geht immer um eine Anzahl. In einem Intervall wie z.B. einer Strecke ist es die Anzahl reellwertiger Punkte. Als Beispiel für eine Menge, die zu mächtig ist um noch durch "nicht aufhören abzuzählen" erreicht zu werden. Nur um nochmal daran zu erinnern. 8-)

Claymore hat geschrieben:
Mo 18. Feb 2019, 22:19
Nur fällt mir ein, dass wenn man M' = [0, 0.25] ∪ [0.5, 0.75] ⊂ M wählen würde, gäbe es eine, nämlich f(x) = x/4.
Viel zu kompliziert. Du kannst sie auch gerne abschnittsweise definieren. Es reicht, wenn sie injektiv ist. Die Primzahlen kannst du ganz einfach durch Aufzählung zuordnen.
1 -> 2
2 -> 3
3 -> 5
4 -> 7
5 -> 11
6 -> 13
7 -> 17
...
etc...
Ist ne injektive Zuordnung auf eine echte Teilmenge.

Claymore
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#93 Re: Können wir die Unendlichkeit erfassen?

Beitrag von Claymore » Di 19. Feb 2019, 12:06

Janina hat geschrieben:
Mo 18. Feb 2019, 22:52
Claymore hat geschrieben:
Mo 18. Feb 2019, 22:19
Nur fällt mir ein, dass wenn man M' = [0, 0.25] ∪ [0.5, 0.75] ⊂ M wählen würde, gäbe es eine, nämlich f(x) = x/4.
Viel zu kompliziert. Du kannst sie auch gerne abschnittsweise definieren.
Nein, nicht “viel zu kompliziert”. Wenn man die Funktion abschnittsweise definiert, ist sie keine Ähnlichkeitsabbildung mehr.
Es reicht, wenn sie injektiv ist.
Diese Formulierung ist wirklich die Härte. Injektiv “reicht” nicht nur – es geht mit geometrisch ähnlich überhaupt nicht.

Oder noch einfacher – der folgende Satz ist falsch:
Eine Menge M ⊂ ℝᵈ ist genau dann nicht endlich, wenn eine Ähnlichkeitsabbildung f: M → M', existiert wobei M' eine echte Teilmenge von M ist.
Die Primzahlen kannst du ganz einfach durch Aufzählung zuordnen.
1 -> 2
2 -> 3
3 -> 5
4 -> 7
5 -> 11
6 -> 13
7 -> 17
...
etc...
Ist ne injektive Zuordnung auf eine echte Teilmenge.
Thema verfehlt. Es ging mir darum, dass es keine Ähnlichkeitsabbildung gibt, die die Primzahlen auf eine ihrer echten Teilmengen abbildet. Das habe ich nun wirklich deutlich genug geschrieben.

Ich frage jetzt noch mal: Warum ist der Begriff “ähnlich” wie in der Geometrie verstanden hier bitte nicht off-topic?

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Janina
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#94 Re: Können wir die Unendlichkeit erfassen?

Beitrag von Janina » Di 19. Feb 2019, 12:26

Claymore hat geschrieben:
Di 19. Feb 2019, 12:06
Es ging mir darum, dass es keine Ähnlichkeitsabbildung gibt, die die Primzahlen auf eine ihrer echten Teilmengen abbildet.
Uninteressant. Eine Ähnlichkeitsabbildung ist für den Anfänger eine anschauliche injektive Abbildung auf eine Teilmenge. Wenns der Anschauung hilft, nimm es. Wenn du Korinthen kacken willst, bleib einfach bei der unanschaulichen aber exakten Beschreibung. :roll:

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#95 Re: Können wir die Unendlichkeit erfassen?

Beitrag von Claymore » Di 19. Feb 2019, 12:32

Janina hat geschrieben:
Di 19. Feb 2019, 12:26
Claymore hat geschrieben:
Di 19. Feb 2019, 12:06
Es ging mir darum, dass es keine Ähnlichkeitsabbildung gibt, die die Primzahlen auf eine ihrer echten Teilmengen abbildet.
Uninteressant. Eine Ähnlichkeitsabbildung ist für den Anfänger eine anschauliche injektive Abbildung auf eine Teilmenge. Wenns der Anschauung hilft, nimm es. Wenn du Korinthen kacken willst, bleib einfach bei der unanschaulichen aber exakten Beschreibung. :roll:
Bitte nicht immer so pampig reagieren. Ich kann mir schließlich auch was schöneres vorstellen als mich von dir an der Nase herumführen zu lassen. Vielleicht arbeitest du mal ein wenig an dir, so dass es dir leichter fällt Fehler einzugestehen. Besser für dich – und für deine Mitmenschen. ;)

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Janina
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#96 Re: Können wir die Unendlichkeit erfassen?

Beitrag von Janina » Di 19. Feb 2019, 12:38

Closs, ist es ein Fehler, dir als mathematischem Anfänger gegenüber das Wort Ähnlichkeitsabbildung zu benutzen, um eine injektive Abbildung auf eine Teilmenge zu veranschaulichen?

Claymore
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#97 Re: Können wir die Unendlichkeit erfassen?

Beitrag von Claymore » Di 19. Feb 2019, 14:44

Janina hat geschrieben:
Di 19. Feb 2019, 12:38
Closs, ist es ein Fehler, dir als mathematischem Anfänger gegenüber das Wort Ähnlichkeitsabbildung zu benutzen, um eine injektive Abbildung auf eine Teilmenge zu veranschaulichen?
Dein Fehler beginnt hier, wo du meinen Post zerschnippelt hast:
Janina hat geschrieben:
Mo 18. Feb 2019, 14:57
Claymore hat geschrieben:
Mo 18. Feb 2019, 14:35
Und “ähnlich” heißt “es existiert eine ähnliche Abbildung”, was gleichbedeutend ist mit “es existiert eine injektive Abbildung”...
Ähnlich heißt kongruent, aber es wird noch eine Größenskalierung zugelassen.
Merke – vollständig hieß es:
Claymore hat geschrieben:
Mo 18. Feb 2019, 14:35
Und “ähnlich” heißt “es existiert eine ähnliche Abbildung”, was gleichbedeutend ist mit “es existiert eine injektive Abbildung”:
Richard Dedekind: “Was sind und was sollen die Zahlen?” hat geschrieben:Erklärung. Eine Abbildung φ eines Systems S heißt ähnlich (oder deutlich), wenn verschiedenen Elementen a, b des Systems S stets verschiedene Bilder a' = φ(a), b' = φ(b) entsprechen.
(Holla die Waldfee, das nenne ich “Kontext ignorieren” – ich zitiere Dedekind’s Definition von “ähnlicher Abbildung” aber es ist dir grad egal – du musst die Gelegenheit nutzen mich über die heute in der Mathematik gängige Bedeutung von “ähnlich” zu belehren. :clap: )

… uns setzt sich darin fort, dass du in seltsamer “Geistesabwesenheit” irgendwie einfach nicht auf die Frage, ob die Definition für geometrisch ähnlich überhaupt funktioniert, eingehen wolltest und einen stattdessen mit, naja, du weißt schon was, abgespeist hast.

Aber lassen wir's gut sein – bei dir ist da sowieso nichts zu machen und ich möchte hier keine Streitereien wegen sowas.

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Janina
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#98 Re: Können wir die Unendlichkeit erfassen?

Beitrag von Janina » Di 19. Feb 2019, 15:00

Claymore hat geschrieben:
Di 19. Feb 2019, 14:44
Dein Fehler beginnt hier, wo du meinen Post zerschnippelt hast:
Dafür hast du dir aber jetzt einen Keks verdient. :wave:


closs
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#100 Re: Können wir die Unendlichkeit erfassen?

Beitrag von closs » Mi 20. Feb 2019, 14:37

Janina hat geschrieben:
Di 19. Feb 2019, 12:38
Closs, ist es ein Fehler, dir als mathematischem Anfänger gegenüber das Wort Ähnlichkeitsabbildung zu benutzen, um eine injektive Abbildung auf eine Teilmenge zu veranschaulichen?
Sehr gut möglich. - Ein Grund mehr für die Annahme, dass mathematische und philosophische Unendlichkeits-Verständnis sehr gewissenhaft hin und her übersetzt werden müssen.

Testfrage: Gibt es aus Deiner Sicht ein Übersetzung in die Mathematik für den theologischen/philsophischen Ansatz "Gott ist in Bezug auf Zeit unendlich, insofern er nicht in der Zeit, sondern über der Zeit IST". --- ???

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