#1 Sensenmannparadoxon
Verfasst: Do 16. Jul 2020, 18:05
Hallo zusammen,
es geht in diesem Thread um das Sensenmannparadoxon welches hier https://de.reasonablefaith.org/schrifte ... n-paradox/ zu finden ist. Ich habe es zuerst im Buch "theo:logisch" von Herrn Professor Craig entdeckt.
Ich habe versucht das Problem mathematisch zu "übersetzen" und führe meine Ideen nachfolgend aus. Für Verbesserungsvorschläge und Hinweise auf Fehler bin ich dankbar.
Nach meiner Meinung behauptet Herr Professor Craig, die Existenz einer Funktion f mit folgenden Eigenschaften:
f: ℕ → {0, 1}
ℕ = natürliche Zahlen
f(n) = 1, falls ∀m>n: f(m) = 0;
f(n) = 0, sonst.
Nun formuliere ich eine Aussage A und deren Verneinung.
Aussage A: ∃i∈ℕ: f(i) = 1
Aussage ¬A: ∀i∈ℕ: f(i) = 0
Gelte A und sei i=min{n∈ℕ: f(n) = 1}.
Induktionshypothese: ∀m≥i: f(m) = 0 und damit f ≡ 0.
Induktionsanfang:
∀j>i+1>i: f(j) = 0
⇒ f(i+1) = 1
⇒ f(i) = 0
Induktionsschritt:
Sei nun m>i und gelte die Induktionshypothese für m:
m → m+1:
Annahme: f(m+1) = 1
⇒ ∀j>m+2>m+1: f(j) = 0
⇒ f(m+2) = 1
⇒ f(m+1) = 0
⇒ ¬A
Oder alternativ (unsicher):
Gelte A und sei i∈ℕ, sodass f(i) = 1.
⇒ ∀j>i+1>i: f(j) = 0
⇒ f(i+1) = 1
⇒ f(i) = 0
⇒ ¬A
Gelte ¬A und sei i∈ℕ beliebig:
⇒ ∀j>i: f(j) = 0
⇒ f(i) = 1
⇒ A
D. h. wir haben die Situation, ähnlich wie bei der Russellschen Antinomie: A ⇔ ¬A
Dies ist ein Widerspruch und daher kann so eine Funktion f nicht existieren.
Hat man bei der Definitionsmenge statt der natürlichen Zahlen eine endliche Teilmenge M davon, so existiert eine solche Funktion f. Und zwar ist f(max(M)) = 1 und f(M\max(M)) ≡ 0.
Bei der Induktion bin ich mir unsicher, da ich die Induktionshypothese im Induktionsschritt nicht verwende.
es geht in diesem Thread um das Sensenmannparadoxon welches hier https://de.reasonablefaith.org/schrifte ... n-paradox/ zu finden ist. Ich habe es zuerst im Buch "theo:logisch" von Herrn Professor Craig entdeckt.
Ich habe versucht das Problem mathematisch zu "übersetzen" und führe meine Ideen nachfolgend aus. Für Verbesserungsvorschläge und Hinweise auf Fehler bin ich dankbar.
Nach meiner Meinung behauptet Herr Professor Craig, die Existenz einer Funktion f mit folgenden Eigenschaften:
f: ℕ → {0, 1}
ℕ = natürliche Zahlen
f(n) = 1, falls ∀m>n: f(m) = 0;
f(n) = 0, sonst.
Nun formuliere ich eine Aussage A und deren Verneinung.
Aussage A: ∃i∈ℕ: f(i) = 1
Aussage ¬A: ∀i∈ℕ: f(i) = 0
Gelte A und sei i=min{n∈ℕ: f(n) = 1}.
Induktionshypothese: ∀m≥i: f(m) = 0 und damit f ≡ 0.
Induktionsanfang:
∀j>i+1>i: f(j) = 0
⇒ f(i+1) = 1
⇒ f(i) = 0
Induktionsschritt:
Sei nun m>i und gelte die Induktionshypothese für m:
m → m+1:
Annahme: f(m+1) = 1
⇒ ∀j>m+2>m+1: f(j) = 0
⇒ f(m+2) = 1
⇒ f(m+1) = 0
⇒ ¬A
Oder alternativ (unsicher):
Gelte A und sei i∈ℕ, sodass f(i) = 1.
⇒ ∀j>i+1>i: f(j) = 0
⇒ f(i+1) = 1
⇒ f(i) = 0
⇒ ¬A
Gelte ¬A und sei i∈ℕ beliebig:
⇒ ∀j>i: f(j) = 0
⇒ f(i) = 1
⇒ A
D. h. wir haben die Situation, ähnlich wie bei der Russellschen Antinomie: A ⇔ ¬A
Dies ist ein Widerspruch und daher kann so eine Funktion f nicht existieren.
Hat man bei der Definitionsmenge statt der natürlichen Zahlen eine endliche Teilmenge M davon, so existiert eine solche Funktion f. Und zwar ist f(max(M)) = 1 und f(M\max(M)) ≡ 0.
Bei der Induktion bin ich mir unsicher, da ich die Induktionshypothese im Induktionsschritt nicht verwende.